Windowsの場合は、NVIIDIAやAMDのソフトでゲームの録画ができると思いますが、Buzzite OSではできません。フリーソフトのOBS Studioを使って録画はできます。OBS StudioもBazaarでインストールできます。
音声は、FF14画面以外でも発生する設定とパッド操作もFF14画面以外でも有効にしています。この設定をしておかないと、OBS Studio上で操作しているときに音とパッド操作が効かなくなります。 録画時の画面設定は、仮想フルスクリーンモードにしています。フルスクリーンモードでは、画面の左上の部分しか録画されなっかたので設定変更しました。

設定は、 スクリーンキャプチャをソースとして追加してFF14の画面を選択するだけです。試しにコンテンツサポーターで録画してみました。

※WordPressの制限で上限30MBの動画ファイルとなってます。